กำหนดการเชิงเส้น คืออะไร ตัวอย่างข้อสอบ กำหนดการเชิงเส้น

สรุปเนื้อหา กำหนดการเชิงเส้น คืออะไร กำหนดการเชิงเส้น หรือ Linear Programming คือ แขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ถูกพัฒนาขึ้นจากทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1940 ซึ่งกำหนดการเชิงเส้นนี้เป็นเทคนิคอย่างหนึ่งในการตัดสินใจเพื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการจัดสรรทรัพยากรณ์ที่มีอยู่อย่างจำกัด เพื่อให้ได้รับประโยชน์มากที่สุดนั่นเอง หลักการของกำหนดการเชิงเส้น คือ การสร้าง mathematical model ที่ประกอบด้วยสมการและอสมการเชิงเส้นเพื่อจำลองปัญหาที่สนใจ หาผลเฉลยจากตัวแบบ กรณีตัวแบบมี 2 ตัวแปร จะใช้วิธีทางกราฟในการหาผลเฉลย แต่ถ้ามีตัวแปรหลายตัวจะใช้วิธี simplex ในการหาเฉลย โครงสร้างของตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น จะประกอบไปด้วย สมการเป้าหมาย ซึ่งเป็นสมการที่แสดงความสัมพันธืเพื่อกำหนดตัววัดผลของการดำเนินงานให้มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด สมการ, อสมการข้อจำกัด ซึ่งจะแสดงเงื่อนไข ขอบเขต หรือข้อจำกัดของทรัพยากรณ์ต่าง ๆ ที่มีอยู่ โดยอาจจะเรียกว่า “ข้อจำกัดเกี่ยวกับโครงสร้าง” ก็ได้ ตัวแปรตัดสินใจ เป็นตัวแปรที่จะต้องหาค่าเพื่อให้ได้เป้าหมายที่ต้องการ ซึ่งตัวแปรตัดสินใจจะต้องมีความสัมพันธ์เชิงเส้นทั้งในสมการเป้าหมายและข้อจำกัด โดยตัวแปรตัดสินใจ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ หรือที่เรียกว่า “ข้อจำกัดเกี่ยวกับการไม่เป็นค่าลบ” นั่นเอง การหาคำตอบอย่างง่ายโดยใช้วิธีกราฟของสมการและอสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปร กราฟของอสมการเชิงเส้น พิจารณากราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สมการ […]

แคลคูลัส สรุปสูตร ตัวอย่างข้อสอบ แคลคูลัส

สรุปเนื้อหา คณิต ม.ปลาย เรื่อง แคลคูลัส ลิมิตของฟังก์ชัน ลิมิตด้านเดียว (One-side limits) ลิมิตซ้าย (left-hand limits) กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือก็ต่อเมื่อมีจานวนจริง L ที่ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ลิมิตขวา (right-hand limits) กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวามือก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง L ที่ทำให้ค่าของ f(x) […]

ลำดับและอนุกรม คืออะไร ตัวอย่างข้อสอบ ลำดับและอนุกรม

สรุปเนื้อหา ลำดับและอนุกรม คืออะไร ลำดับ หมายถึง ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 ซึ่งลำดับนั้น เป็นจำนวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฏเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นลำดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่งออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่ ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d) ตัวอย่าง 1, 3, […]

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน คืออะไร ตัวอย่างข้อสอบ

สรุปเนื้อหา ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน คืออะไร ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล เป็นการศึกษาข้อมูลที่มีตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป แล้วนำข้อมูลที่รวบรวมได้เนำมาหาความสัมพันธ์ของตัวแปรในรูปสมการเชิงเส้นตรง เพื่อทำนายค่าของตัวแปร รูปแบบของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน 1. แบบกราฟเป็นเส้นตรงหรือความสัมพันธ์เชิงเส้น เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม (dependent variable) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (independent variable) ส่วน a และ b เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา 2. แบบกราฟไม่เป็นเส้นตรง แบ่งได้เป็น 2 แบบย่อย ๆ 2.1 อยู่ในรูปพาราโบลา เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ a, b, c เป็นค่าคงที่ แผนภาพการกระจาย ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลเชิงปริมาณที่ประกอบด้วยตัวแปรสองตัวจากข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด หรือจากตัวอย่างข้อมูลที่เลือกมาเป็นตัวแทนของข้อมูลที่มีอยู่ มีความจำเป็นที่จะต้องตรวจดูรูปแบบของความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นระหว่งตัวแปรทั้งสอง เพื่อที่จะนำมาใช้ในการกำหนดความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่จะสร้างขึ้น โดยรูปแบบของความสัมพันธ์นี้พิจารณาได้จากกราฟที่สร้างจากข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดหรือข้อมูลที่เลือกมาเป็นตัวแทนของข้อมูลที่มีอยู่ ซึ่งเรียกว่าแผนภาพการกระจาย เนื่องจากลักษณะการกระจายของข้อมูลไม่สามารถจัดเข้าในรูปความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันใดๆได้ หรืออาจจะมีลักษณะของความสัมพันธ์ที่ใกล้เคียงกับรูปของความสัมพันธ์สองรูป เช่น […]

สถิติ คืออะไร สรุปสูตร ตัวอย่างข้อสอบ ตัวอย่างข้อสอบ

สถิติ คืออะไร สถิติ คือ ตัวเลขที่ใช้แทนข้อเท็จจริงหรือข้อมูลที่เปลี่ยนแปลงไป ซึ่งจะต้องเป็นตัวเลขรวบยอดที่ประมวลมาได้จากข้อมูลเบื้องต้นโดยการวิเคราะห์คำนวณ โดยสถิตินั้นจะครอบคลุมตั้งแต่การเก็บรวบรวมข้อมูล การนำเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการตีความหมายข้อมูล ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล หมายถึง ข้อเท็จจริงที่เป็นตัวเลขซึ่งเกี่ยวกับเรื่องที่เราสนใจศึกษา โดยข้อมูลนั้นจะแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลัก ๆ คือ ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล หมายถึง ข้อเท็จจริงที่เป็นตัวเลขซึ่งเกี่ยวกับเรื่องที่เราสนใจศึกษา โดยข้อมูลนั้นจะแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลัก ๆ คือ ข้อมูลปฐมภูมิ ได้แก่ ข้อมูลที่ได้จากการสำรวจ สัมภาษณ์ การสังเกต การใช้แบบสอบถาม การทดลอง ข้อมูลทุติยภูมิ ได้แก่ ทะเบียนประวัติ บทความ รายงานต่าง ๆ ข้อมูล สามารถจำแนกออกเป็น 4 กลุ่ม ได้แก่ ข้อมูลเชิงคุณภาพ ข้อมูลเชิงปริมาณ ข้อมูลตามกาลเวลา ข้อมูลตามสภาพภูมิศาสตร์ ข้อมูลที่ผ่านวิเคราะห์มาแล้ว สามารถนำเสนอได้หลากหลายรูปแบบ ไม่ว่าจะเป็นแบบตาราง แผนภูมิ แผนภาพ […]

ความน่าจะเป็น ตัวอย่างข้อสอบเรื่อง ความน่าจะเป็น

สรุปเนื้อหาเรื่อง ความน่าจะเป็น (Probability) คืออะไร กฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้อง กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n1วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี จะทำงานทั้งสองอย่างนี้ได้ n1 n2 วิธี กฎข้อที่ 2 ถ้าต้องการทำงานอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n1วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สองได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ n3วิธี เช่นนี้ เรื่อยไปจนถึงขั้นตอนสุดท้ายคือ ขั้นตอนที่ k ทำได้ nk วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ n1 n2 n3 … nk วิธี กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n ! […]

จำนวนเชิงซ้อน สรุปสูตร ตัวอย่างข้อสอบ จำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน 1. จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้ กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ 1) (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d 2) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) 3) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc) 2. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย Re(z) เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z) หมายเหตุ : เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้น […]

เวกเตอร์ การบอกปริมาณ การเขียนกราฟเวกเตอร์

เวกเตอร์ในสามมิติ การบอกปริมาณ ปริมาณมี 2 รูปแบบ คือ 1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริมาณที่บอกเฉพาะขนาด ไม่บอกทิศทาง เช่น ระยะทาง พื้นที่ อุณหภูมิ ความสูง ความดัน เป็นต้น 2. ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เวกเตอร์ คือปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนต้ม เป็นต้น การใช้แผนภาพเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ในเชิงเรขาคณิตแทนได้ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง โดยความยาวของส่วนของเส้นตรงขนาดและหัวลูกศรบอกทิศทาง สัญลักษณ์ เวกเตอร์ตำแหน่ง (2 มิติ – 3 มิติ) การบวกเวกเตอร์ u + v คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของ u แล้วจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ v (ผลบวก u + v อาจะเรียกว่าเวกเตอร์ลัพธ์ก็ได้) วิธีการบวก วิธีการบวกมี 2 วิธี […]

สรุป ตรีโกณมิติ คืออะไร และทุกเรื่องที่ควรรู้ของ ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ คืออะไร ตรีโกณมิติ (Trigonometry) คือ สาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต แม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต จากรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า ค่า sin⁡θ cos⁡θ tan⁡θ ของมุมพื้นฐานมีค่าเท่าไหร่บ้าง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle) เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า : ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด […]

คณิต สรุป ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

สรุปเนื้อหาเรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คืออะไร ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) ∈ R × R+ / y = ax , a > 0, a ≠ 1 } ข้อสังเกต จากข้อกําหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1 ดังนั้น ในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจึงไม่สนใจฐาน a ที่เป็น 1 f(x) = 1x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว จากเงื่อนไขที่ว่า y = ax , […]

1 2